https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC_(%E8%A8%98%E5%8F%B7) 【スター (記号)】より
★☆
スター (star) は、中が塗りつぶされた五芒星の記号である。星（ほし）・星印（ほしじるし）とも呼ぶが、これらは五芒星以外の星型多角形、または「○●（丸印）」「（アスタリスク）」「（押しボタン式電話機に使われる、スターマーク）」を意味することもある。
中が白い（外枠だけを描いた）「☆」を白星または白スター、中が黒い/塗りつぶした「★」を黒星または黒スターと呼ぶ[1]。
由来
古代エジプトにおいて空を表すために部屋の天井に刻んだヒトデの形が現在の我々が用いている星型・星マークとなった。現在でもエジプトのサッカラにあるウナス王のピラミッド（英語版）内において人類最古の宗教碑文「ピラミッド・テキスト」が刻まれた部屋の天井にその状態を確認することができる[2]。
図形
五芒星は5/2角形（シュレーフリ記号）だが、☆は凹10角形である。
用途
☆または★で、恒星を示す。
☆または★の数で、評価の高低を表す。通常は数が多いほど高評価を意味する。
アスタリスクが小さな「★」型のグリフを持つことがある。
任意の概念の象徴として、旗や紋章などで使われる。ほとんどは★だが、ソ連国旗では☆が使われていた。
イスラームを象徴する「三日月と星（英語版）」の一部に使われる。
複数並べ、その個数のものを象徴する。よく知られたものは星条旗の50星が表す米国の50州。5つの何かを象徴する。たとえばソ連国旗の☆は五大陸を表す。
https://lifeskills.amebaownd.com/posts/categories/997479 【神聖幾何学模様】
https://sgk2005.blog.fc2.com/blog-entry-475.html 【092_シュレーフリ記号について】より
シュレーフリ（1814-1895）は，スイスの幾何学者．4次元の正多面体（ポリトープ：正多胞体）が６つであることを示した人です．
ちょっと話を戻しますが，3次元の正多面体とは，
（１）すべての面が同一の正多角形でできている．
（２）すべての頂点のまわりの状態は同一である．
を満たすもので，特に凸正多面体をプラトン正多面体と言いました．プラトンの正多面体は5つであることはご存知でしょう．
注）5つの正多面体がプラトン多面体と呼ばれるのは，プラトンが著作に，ロクリス（ギリシャの地名）のティマイオス（哲学者名）の宇宙観として“巨大な正12面体で囲まれている宇宙と，四元素の正多面体”について述べているからです．この時代の四元素とは：
火→正4面体， 土→正６面体， 空気→正８面体， 水→正20面体．
正多面体が5種類であることは，プラトン以前のギリシャですでに知られていました．ユークリッドの「原論」にも証明が載っています．
4次元の正多面体のことは，正多胞体と呼ぶのが正しいのですが，
これは４次元の正多面体の面は，3次元の正多面体（プラトンの正多面体）なので，面と言わずに胞Cellと呼ぶべきなのです．
さて，今回の話題はこのようなものを記述するシュレーフリの記号についてです．
このような記号は面倒なようですが，この記号を理解すると自体が，多面体の性質の理解に直結します．シュレーフリの記号は本質をとらえた優れた表記法なのです．
■3次元の正多面体のシュレーフリ記号
{n,k}=｛面の形，頂点に集まる面の数｝
正4角形の面が頂点で3つ集まる図形を{4,3}と書きます．これは立方体です．
正3角形の面が頂点で4つ集まる図形｛3,4｝は？ これは正8面体です．
｛4,3｝と{3,4}の図形は互いに双対の関係にあります．つまり，
一方の図形の面→頂点，頂点→面に置き換えると他方の図形が得られます．
互いに双対な図形の対称性は全く同じです．
■ユークリッド平面のタイル張り
｛4,4｝なら，正方形による無限平面のタイル張り，{3,6}なら，正3角形によるタイル張りです．これらは， 1/n+1/k=1/2 , ３=<n,k の整数解n.kを求め得ました．
{6,3}もこの解になります．
■半正多面体を記述するシュレーフリの記号
半正多面体というのは，複数種類の正多角形で作られる多面体で
どの頂点のまわりの状況も同じものです．半正多面体を記述する記号は，
頂点のまわりを1周するとき出会う正多角形を列挙します．例えば，
切頂正4面体（正4面体のとがった頂点を切断し（切断面は正3角形），残りの面が正6角形になるようにする）の例では ［3,6,6］となります．シュレーフリ記号が，正多面体に関するものか，半正多面体に関するものかの混乱を避けるため，私は前者を｛｝，後者を［］と違うカッコを使い区別しています．
■4次元の正多胞体
正5胞体，正8胞体，正16胞体，正24胞体，正120胞体，正600胞体の6つです．
このうちで，正5胞体，正16胞体，正600胞体は正4面体の面（胞）でできています．
4次元正胞体のシュレ―フリの記号は｛胞の形，１辺が共有する胞数｝を指定します．正5胞体（正4面体が５つでできている）は，正4面体が各辺の周りに3個集まっている図形ですので{{3,3},3｝={3,3,3}，正16胞体は{3,3,4}，正600胞体は{3,3,5}というように，全く自然に3次元から拡張できます．
■最後に３つの幾何平面（2次元）のタイル張りについてまとめます．
このような正ｎ多角形によるタイル張りを，平面の正則分割｛n,k｝といいます．
楕円平面のタイル張りでは， 1/n+1/k<1/2，双極平面のタイル張りでは，1/n+1/k>1/2 を，3=<n,kの範囲で整数解を求めます．この結果は末尾の図に示します．赤色は楕円幾平面，緑色はユークリッド幾何平面，青色は双極幾何平面の出来事です．
双極幾何平面の正則分割は無限にあります．
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